فعالیت صفحه ۸ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
فرض کنید بخواهیم از میان ارقام $\mathbf{1, 2, 4, 6}$ و $\mathbf{5}$ رقم انتخاب کنیم و با آن‌ها یک مجموعه $\mathbf{3}$ عضوی تشکیل دهیم. با توجه به تعریف مجموعه که بر اساس آن، جابه‌جایی اعضای یک مجموعه، مجموعهٔ جدیدی تولید نمی‌کند و نیز چون سه رقم انتخاب شده، $\mathbf{3!}$ جایگشت دارند که برای تشکیل مجموعه فقط $\mathbf{1}$ مجموعه می‌سازد، برای رسیدن به جواب مسئله کافی است کل **جایگشت‌های $\mathbf{3}$ تایی از $\mathbf{4}$ رقم (انتخاب‌های $\mathbf{3}$ تایی از بین $\mathbf{4}$ رقم)** را بر $\dots$ تقسیم کنیم.
پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه ۸ ریاضی و آمار دوازدهم انسانی
این فعالیت شما را با مفهوم **ترکیب (Combination)** آشنا می‌کند. در مسائل ترکیب، ما $\mathbf{r}$ شیء را از بین $\mathbf{n}$ شیء انتخاب می‌کنیم، اما **ترتیب قرارگیری اشیاء انتخاب شده، مهم نیست**.
### ۱. تحلیل مسئله (تفاوت جایگشت و ترکیب)
* **اشیای کل ($athbf{n}$):** $\mathbf{4}$ رقم ($\mathbf{1, 2, 4, 6}$ را در نظر بگیرید، چون $5$ رقم در صورت سؤال آمده اما در عمل $1, 2, 4, 6$ چهار رقم است. فرض می‌کنیم ارقام $\mathbf{1, 2, 4, 6}$ مورد نظر بوده است.)
* **اشیای انتخابی ($athbf{r}$):** $\mathbf{3}$ عضو.
فرض کنید $\mathbf{1, 2, 4}$ انتخاب شده‌اند:
* **در جایگشت:** حالات $\mathbf{124}$، $\mathbf{142}$، $\mathbf{214}$، $\mathbf{241}$، $\mathbf{412}$، $\mathbf{421}$، شش حالت متمایز هستند ($athbf{3!}$). $\mathbf{\text{P}(4, 3) = 24}$ راه.
* **در ترکیب (مجموعه):** $\mathbf{\left\{ 1, 2, 4 \right\}}$ یک حالت واحد است.
**نتیجهٔ مهم:** تعداد کل **جایگشت‌ها** ($\\text{P}(\text{n}, \text{r})$) برابر است با تعداد کل **ترکیب‌ها** ($\\text{C}(\text{n}, \text{r})$) ضربدر تعداد حالت‌هایی که می‌توانند تکرار شوند ($\\text{r}!$):
$$\mathbf{\text{P}(\text{n}, \text{r}) = \text{C}(\text{n}, \text{r}) \times \text{r}!}$$
### ۲. تکمیل فعالیت و محاسبه
ما می‌خواهیم تعداد ترکیب‌ها ($\\text{C}(4, 3)$) را حساب کنیم. برای این کار، باید تعداد کل جایگشت‌ها ($\\text{P}(4, 3)$) را بر تعداد جابه‌جایی‌های تکراری ($\\text{r}! = 3!$) تقسیم کنیم.
$$\mathbf{\text{تعداد ترکیب‌ها} = \frac{\text{تعداد جایگشت‌ها}}{\text{تعداد جابه‌جایی‌های تکراری}} = \frac{\text{P}(4, 3)}{3!}}$$
**تکمیل جای خالی:**
برای رسیدن به جواب مسئله کافی است کل **جایگشت‌های $\mathbf{3}$ تایی از $\mathbf{4}$ رقم** را بر **$\mathbf{3!}$** (یا $\mathbf{3}$ فاکتوریل) تقسیم کنیم.
**محاسبهٔ نهایی:**
$$\text{C}(4, 3) = \frac{\text{P}(4, 3)}{3!} = \frac{\frac{4!}{(4-3)!}}{3!} = \frac{4!}{1! \times 3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{24}{6} = 4$$
**تعداد کل مجموعه‌های $\mathbf{3}$ عضوی** که می‌توان از ارقام $\mathbf{\left\{ 1, 2, 4, 6 \right\}}$ ساخت، برابر با $\mathbf{4}$ است.
